최소공배수란?
최소공배수의 정의
- 최소공배수(LCM, Least Common Multiple)는 두 개 이상의 수의 공통 배수 중 가장 작은 값을 의미합니다.
- 배수란 어떤 수를 일정한 값만큼 곱하여 나오는 수를 의미하며, 공통 배수는 두 개 이상의 수가 공통으로 가지는 배수를 뜻합니다.
- 예를 들어 4와 6의 배수를 나열하면 4의 배수는 4, 8, 12, 16, 20이고, 6의 배수는 6, 12, 18, 24입니다. 이 중 공통으로 등장하는 배수는 12, 24, 36 등이며, 가장 작은 값이 12이므로 최소공배수는 12입니다.
최소공배수와 최대공약수의 관계
- 최소공배수와 최대공약수(GCD, Greatest Common Divisor)는 밀접한 관계를 가지고 있습니다.
- 두 수 a, b에 대해 다음 공식이 성립합니다.
- 최소공배수(LCM) × 최대공약수(GCD) = a × b
- 예를 들어, 12와 18의 경우 최대공약수가 6이고, 최소공배수가 36이므로 12 × 18 = 6 × 36의 관계가 성립합니다.
- 이를 활용하면 최대공약수를 이용해 최소공배수를 구할 수 있으며, 계산이 간편해지는 장점이 있습니다.
최소공배수를 구하는 방법
소인수분해를 이용한 방법
- 주어진 숫자를 소인수분해하여 공통된 소인수 중 가장 높은 지수를 가지는 값을 곱하여 최소공배수를 구합니다.
- 예를 들어 12와 18의 경우
- 12 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3²
- 최소공배수 = 2² × 3² = 36
- 이 방법은 작은 수의 경우 비교적 쉽게 구할 수 있지만, 큰 수의 경우 계산이 복잡해질 수 있습니다.
최대공약수를 활용한 공식 이용
- 최대공약수를 구한 후, 다음 공식을 이용하면 최소공배수를 쉽게 구할 수 있습니다.
- LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)
- 예를 들어 12와 18의 경우
- GCD(12, 18) = 6
- LCM(12, 18) = (12 × 18) ÷ 6 = 36
- 이 방법은 두 수의 곱을 구한 후 최대공약수로 나누는 방식이므로, 비교적 빠르게 계산할 수 있습니다.
여러 개의 수에 대한 최소공배수 구하기
- 여러 개의 숫자가 있을 경우, 두 개씩 차례로 최소공배수를 구하여 전체 최소공배수를 구합니다.
- 예를 들어 4, 6, 8의 최소공배수를 구할 때
- LCM(4, 6) = 12
- LCM(12, 8) = 24
- 따라서 LCM(4, 6, 8) = 24
- 이 방법은 차례대로 계산하면서 최소공배수를 찾는 방식이므로, 여러 숫자에 적용하기 쉽습니다.
최소공배수의 활용
분수의 덧셈과 뺄셈
- 분수를 더하거나 뺄 때, 분모를 통일해야 하며, 이를 위해 최소공배수를 사용합니다.
- 예를 들어 1/4 + 1/6을 계산할 때, 분모의 최소공배수를 구하면 12가 됩니다.
- 따라서 1/4을 3/12로, 1/6을 2/12로 변환하여 3/12 + 2/12 = 5/12로 계산할 수 있습니다.
주기적인 사건 계산
- 여러 개의 주기가 다른 사건이 동시에 발생하는 시점을 계산할 때 최소공배수를 사용합니다.
- 예를 들어, 4일마다 열리는 행사와 6일마다 열리는 행사가 있다면, 두 행사가 동시에 열리는 날을 구하기 위해 4와 6의 최소공배수를 찾습니다.
- 최소공배수는 12이므로, 12일마다 두 행사가 동시에 열리게 됩니다.
컴퓨터 과학에서의 활용
- 프로세스 스케줄링, 데이터 구조의 정렬 등에서 최소공배수가 활용됩니다.
- 예를 들어, 주기적으로 실행되는 두 개의 태스크(Task)가 있을 때, 두 태스크가 동시에 실행되는 최소 시간을 계산하는 데 최소공배수를 사용합니다.
최소공배수를 구하는 파이썬 코드
두 수의 최소공배수 구하기
import math
def lcm(a, b):
return a * b // math.gcd(a, b)
print(lcm(12, 18)) # 출력: 36
여러 개의 수의 최소공배수 구하기
from functools import reduce
def lcm_multiple(numbers):
return reduce(lcm, numbers)
print(lcm_multiple([4, 6, 8])) # 출력: 24
결론
- 최소공배수는 두 개 이상의 수의 공통 배수 중 가장 작은 값으로, 분수 계산, 주기적 사건 계산, 프로그래밍 등의 다양한 분야에서 활용됩니다.
- 최소공배수를 구하는 방법에는 소인수분해, 최대공약수를 이용한 공식, 여러 개의 숫자에 대해 반복 적용하는 방법이 있습니다.
- 실생활에서도 최소공배수를 적용할 수 있는 다양한 예제가 존재하며, 이를 활용하면 보다 효율적인 계산이 가능합니다.
메타스크립션과 SEO를 고려하여 최대한 친절하고 쉽게 설명하였습니다. 이를 통해 최소공배수 개념을 확실히 이해하고, 실제 활용할 수 있기를 바랍니다.